Представьте себе, что вы поставили на кухне небольшую банку дрожжей с сахаром и через несколько часов обнаружили, что объём пены вырос почти вдвое — и это повторяется снова и снова. Или вспомните, как быстро увеличивается число просмотров вирусного ролика: сначала десятки, затем сотни, затем тысячи — и кажется, что весь процесс как будто ускоряется сам собой. Такие явления описываются с помощью одной из самых красивых и полезных семей функций в математике — показательных функций. А логарифмы — это ключ к этим «скрытым» скоростям роста: они отвечают на вопрос «сколько раз нужно удваиваться, чтобы достичь заданного уровня?».

Ниже мы подробно разберём, что такое показательная и логарифмическая функции, как выглядят их графики, какие у них свойства и как ими пользоваться при решении уравнений и задач из реальной жизни. Материал рассчитан на школьников 10–11 классов, но подаётся простым и живым языком, с примерами, визуальными аналогиями и практическими приёмами.

Пусть a — положительное число, не равное 1. Показательная функция задаётся формулой y = a^x. Это означает: возводим основание a в степень x. Если x целое, это привычное умножение (a^3 = a·a·a), а если x дробное или отрицательное — это корни и обратные величины (a^{1/2} = √a, a^{-1} = 1/a). Основные свойства, которые важно запомнить:
— Область определения (domain): все действительные числа x ∈ (−∞, +∞).
— Множество значений (range): y ∈ (0, +∞) — функция никогда не достигает нуля и не становится отрицательной.
— Точка пересечения с осью y: при x = 0 получаем y = a^0 = 1 → пересечение (0, 1).
— Горизонтальная асимптота: прямая y = 0 — функция приближается к нулю при x → −∞ (если a > 1), но никогда не достигает её.
— Монотонность: если a > 1, функция возрастает на всей прямой; если 0 < a 1 рост экспоненциальный — при увеличении x на единицу значение умножается на a.

Визуально: если a > 1 (например, a = 2), график медленно идёт влево к нулю, пересекает (0,1), а вправо резко поднимается; если 0 < a < 1 (например, a = 1/2), он зеркально убывает.

Показательная функция часто встречается в задачах роста и распада. Несколько живых примеров:
— Популяция бактерий удваивается каждые T минут. Если начальное число N0, через t минут количество N(t) = N0