Представьте себе глубокую чугунную миску, в которой вода собирается точно в центре; луч фонарика, брошенный на один край миски, отражается и собирается в одной точке; траектория мяча, брошенного под углом, описывает красивую симметрию. Все эти образы связаны с одним из самых важных и практичных объектов в школьной математике — квадратной функцией и её графиком, параболой. Для ученика это не просто набор формул: понимание квадратичных уравнений открывает путь к решению задач из физики, инженерии, экономики и повседневных ситуаций, где нужно найти максимум, минимум или места пересечения с осью. В этой статье мы разберёмся, что такое квадратичное уравнение и квадратичная функция, как строится парабола, какие у неё ключевые свойства, как находить корни и вершину, и как применять всё это на практике — с понятными примерами и наглядными приёмами, которые можно продемонстрировать дома или в классе.

Квадратичное уравнение в общем виде записывается как ax^2 + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. Если a = 0, уравнение превращается в линейное и обсуждение квадратичного смысла теряет смысл. Квадратичная функция — это функция вида y = ax^2 + bx + c; её график в декартовой системе координат — парабола. Коэффициент a отвечает за «ширину» и направление раскрытия параболы: при a > 0 парабола «вверх» (как чашка), при a 0 — два различных действительных корня;
— если D = 0 — один (двукратный) действительный корень;
— если D 0 или максимума при a < 0. Ось симметрии параболы — прямая x = x0. Эти формулы получаются из приведения квадратного многочлена к полному квадрату — приёма, который не только даёт формулу вершины,